Une histoire en trois actes
La plupart du temps, l'accueil réservé par les élèves à la topologie est assez réservé et il faut déployer des trésors de pédagogie pour les faire entrer dans la discipline. Tous les quatre ou cinq ans environ, l'alchimie opère et les élèves partagent mon amour inconditionnel pour cette partie des mathématiques. On peut alors sortir quelques exercices amusants. L'étude de la frontière d'une partie est un grand classique. La première question de l'exercice consiste souvent à montrer que la frontière d'une partie est toujours fermée. La question de la réciproque est alors naturelle. Quel bonheur si un élève soulève la question ! Cela dit, y répondre n'est pas si facile et régulièrement, sur les forums, un collègue vient demander de l'aide.
En 2010, la question aparait sur le forum de l'UPS. Les réponses habituelles arrivent mais tout le monde est conscient qu'elle sont trop partielles et la question est creusée. Suite à queques échanges, la problématique est totalement résolue dans les espaces métriques. Par contre, le contre-exemple des ultafiltres laisse à penser que l'histoire ne s'arrête pas la.
On trouve beaucoup de réponses dans la compilation Bourbaki de Topologie Générale à condition d'avoir le courage de se taper les multiples renvois d'un chapitre vers l'autre. J'ai mis en forme tout ce que j'ai trouvé. Par contre, pour avoir l'impression d'avoir fait le tour de la question, il me manque un exemple.
Une question demeure. Existe-t-il une topologie normale non résoluble ? J'avais envoyé une construction en 2013 mais il y avait une erreur systémique dans la démonstration. J'ai du remanier le texte en profondeur. La version actuelle est de toute façon bien plus simple.